Question

某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；
（2）写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；
（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？

Answer 1

解：（1）根据题意得，y=200+（80-x）×20
=-20x+1800，
所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=-20x+1800（60≤x≤80）；

（2）W=（x-60）y
=（x-60）（-20x+1800）
=-20x²+3000x-108000，
所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式W=-20x²+3000x-108000；

（3）根据题意得，-20x+1800≥240，解得x≤78，
∴76≤x≤78，
w=-20x²+3000x-108000，
对称轴为x=-=75，
a=-20＜0，
∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，
∴x=76时，W有最大值，最大值=（76-60）（-20×76+1800）=4480（元）．
所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．
分析：（1）销售量y件为200件加增加的件数（80-x）×20；
（2）利润w等于单件利润×销售量y件，即W=（x-60）（-20x+1800），整理即可；
（3）先利用二次函数的性质得到w=-20x²+3000x-108000的对称轴为x=-=75，而-20x+1800≥240，x≤78，得76≤x≤78，根据二次函数的性质得到当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，把x=76代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．
点评：本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．