Question

已知二次函数y=x²+bx+c过点（0，-3）和（-1，2m-2）对于该二次函数有如下说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②若存在一个正数x₀，使得当x＜x₀时，函数值y随x的增大而减小，则m＞0；若存在一个负数x₀，使得当x＞x₀时，函数值y随x的增大而增大，则m＜0；
③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④若当x=2时的函数值与x=2012时的函数值相等，则当x=20时的函数值为-3．
其中正确的说法的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：把已知点的坐标代入可得y=x²-2mx-3，可利用方程x²-2mx-3=0的判别式判断①；可求得其对称轴为x=m，结合二次函数的增减性可判断②；根据左加右减的原则，可求得平移后的解析式，可判断③；根据二次函数的对称性，可求得对称轴，可求得m的值，再把x=20代入，可求得对应函数值，可判断④；可得出答案．

解答：解：
∵二次函数y=x²+bx+c过点（0，-3）和（-1，2m-2）
∴代入可求得c=-3，b=-2m，
∴二次函数解析式为y=x²-2mx-3，
令y=0可得x²-2mx-3=0，则其判别式△=4m²+12＞0，故二次函数图象与x轴有两个公共点，
∴①正确；
∴二次函数的对称轴为x=m，且二次函数图象开口向上，
∴若存在一个正数x₀，使得当x＜x₀时，函数值y随x的增大而减小，则m＞0；若存在一个负数x₀，使得当x＞x₀时，函数值y随x的增大而增大，则m＜0，
∴②正确；
由平移可得向左平移3个单位后其函数解析式为y=（x+3）²-2m（x+3）-3，把点（0，0）代入可得m=1，
∴③不正确；
由当x=2时的函数值与x=2012时的函数值相等，代入可求得m=1007，
∴函数解析式为y=x²-2014x-3，
当x=20时，代入可得y=400-4028-3≠-3，
∴④不正确；
综上可知正确的有两个，
故选B．

点评：本题主要考查二次函数的性质及与方程的关系，掌握二次函数的对称轴、增减性及图象的平移是解题的关键．注意与一元二次方程的关系．