Question

14．已知：如图，在正方形ABCD中，BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△PQC∽△QAD∽△PAQ．

Answer 1

分析 先根据四边形ABCD是正方形，BP=3PC，Q是CD的中点得出QC=QD=$\frac{1}{2}$AD，CP=$\frac{1}{4}$AD，再由相似三角形的判定定理即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，BP=3PC，Q是CD的中点，
∴QC=QD=$\frac{1}{2}$AD，CP=$\frac{1}{4}$AD，
∴$\frac{AD}{QC}$=$\frac{DQ}{CP}$=2，
又∵∠ADQ=∠QCP，
∴△PQC∽△QAD．
∴$\frac{AQ}{PQ}$=$\frac{CQ}{PC}$=2，∠DAQ=∠CQP．
∵∠DAQ+∠AQD=90°，
∴∠AQD+∠PQC=90°，
∴∠AQP=∠C=90°，
∴△PAQ∽△PQC，
∴△PQC∽△QAD∽△PAQ．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．