Question

如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，O是正方形的中心，⊙O的半径为2．沿EF折叠纸片，使点A落在⊙O上的A₁处，且EA₁所在直线与⊙O只有一个公共点A₁，延长FA₁交CD边于点G，则A₁G的长是（　　）

• A、

  19

  3

• B、6
• C、

  17

  3

• D、

  20

  3

Answer 1

分析：根据翻折变换得到EA₁是⊙0的切线，然后利用切线的性质，有FG⊥EA₁，因为点O是正方形的中心，所以AF=CG，再过点G作AB的垂线交AB于H，在△FGH中用勾股定理计算求出线段AF的长，然后得到A₁G的长．

解答：解：如图：过点G作GH⊥AB于点H，
∵∠A=90°，∴∠EA₁F=90°，
∵EA₁所在的直线与⊙0只有一个公共点，
∴EA₁是⊙0的切线，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴AF=CG
设AF=a，则FA₁=a，CG=a，
在直角△FGH中，
FH=8-2a，HG=8，FG=4+2a，
∴（4+2a）²=（8-2a）²+8²，
解得：a=

7

3

∴A₁G=4+a=

19

3

．
故选A．

点评：本题考查的是切线的性质，利用翻折原理得到直线EA₁是圆的切线，然后利用切线的性质和正方形的性质，通过作辅助线得到直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理求出线段的长．