Question

如图，已知正方形纸片ABCD的边长为2，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，找到一个与△EDP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与△EDP周长的比是多少？

Answer 1

分析：（1）根据题意，∠EPG=90°，可得∠EPD+∠CPG=90°，又∠EPD+∠PED=90°，所以∠CPG=∠PED．加上∠C=∠D，可得△EDP∽△PCG；
（2）根据相似三角形性质求解．因为CP=1，所以需求对应边DE的长度．设DE=x，则AE=EP=2-x，根据勾股定理可求．

解答：解：（1）与△EDP相似的三角形是△PCG．     （1分）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°．
由折叠知∠EPQ=∠A=90°．
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．
∴∠2=∠3．
∴△PCG∽△EDP．                            （2分）

（2）设ED=x，则AE=2-x，
由折叠可知：EP=AE=2-x．
∵点P是CD中点，
∴DP=1．
∵∠D=90°，
∴ED²+DP²=EP²，
即x²+1²=（2-x）²
解得x=

3

4

．
∴ED=

3

4

．                                 （3分）
∵△PCG∽△EDP，
∴

PC

ED

=

1

3 4

=

4

3

．
∴△PCG与△EDP周长的比为4：3．               （4分）

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，涉及折叠问题、勾股定理等知识点，综合性较强，难度偏上．