Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAM且CD⊥AM于D，点I是△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于E，连接AE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AE=DE；
（3）若AD=

32

5

，AC=8，求AB和CE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OC，如图1，由AC平分∠BAM得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥AD，然后根据切线的判定定理即可得到CD是⊙O的切线；
（2）连结AI、CB，如图2，由三角形内心的定义得到∠CAI=∠BAI，∠ACE=∠BCE，再利用三角形外角性质得∠AIE=∠ACB+∠CAI=∠BCE+∠BAI，而∠BCE=∠BAE，所以∠AIE=∠BAE+∠BAI，即∠AIE=∠EAI，于是根据等腰三角形的判定得AE=IE；
（3）作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N，如图3，根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ACB=90°，加上DAC=∠CAB，则可判断Rt△ADC∽Rt△ACB，利用相似比可计算出AB=10，再利用勾股定理计算出BC=6，接着证明Rt△AEM≌Rt△BEN得到AM=BN，再利用四边形CMEN为正方形得CM=CN，所以CM=AC-AM=AC-BN=AC-（CN-BC），于是可计算出CM=

1

2

（AC+BC）=

1

2

×（6+8）=7，然后利用CE=

2

CM进行计算．

解答：（1）证明：连结OC，如图1，
∵AC平分∠BAM，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥AD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：连结AI、CB，如图2，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，EI平分∠ACB，
∴∠CAI=∠BAI，∠ACE=∠BCE，
∴∠AIE=∠ACB+∠CAI=∠BCE+∠BAI，
而∠BCE=∠BAE，
∴∠AIE=∠BAE+∠BAI，
即∠AIE=∠EAI，
∴AE=IE；
（3）解：作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N，如图3，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠CAB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

32 5

8

=

8

AB

，解得AB=10，
在Rt△ACB中，∵AB=10，AC=8，
∴BC=

AB2-AC2

=6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴EM=EN，

AE

=

BE

，
∴AE=BE，
在Rt△AEM和Rt△BEN中，

EM=EN EA=EB

，
∴Rt△AEM≌Rt△BEN，
∴AM=BN，
∵四边形CMEN为正方形，
∴CM=CN，
∴CM=AC-AM=AC-BN=AC-（CN-BC），
∴CM=

1

2

（AC+BC）=

1

2

×（6+8）=7，
∴CE=

2

CM=7

2

．
即AB和CE的长分别为10，7

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．