题目内容
如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝m(m＞4)，点P是AB边上的任意一点(不与A、B重合)，连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．
(1)当m＝10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
(2)连结AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长(用含m的代数式表示)
(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．
答案：
解析：
解析：
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解：(1)假设当m＝10时，存在点P使得点Q与点C重合(如下图)，
∵PQ⊥PD∴∠DPC＝90°，∴∠APD＋∠BPC＝90°， 又∠ADP＋∠APD＝90°，∴∠BPC＝∠ADP， 又∠B＝∠A＝90°，∴△PBC∽△DAP，∴ ∴ (2)如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠BAC，∵∠BPQ＝∠ADP，∴∠BAC＝∠ADP，又∠B＝∠DAP＝90°，∴△ABC∽△DAP，∴
∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠BAC，∵∠B＝∠B，∴△PBQ∽△ABC， (3)由已知PQ⊥PD，所以只有当DP＝PQ时，△PQD为等腰三角形(如图)，
∴∠BPQ＝∠ADP，又∠B＝∠A＝90°，∴△PBQ≌△DAP， ∴PB＝DA＝4，AP＝BQ＝ ∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：S四边形PQCD＝S矩形ABCD－S△DAP－S△QBP＝ ＝ |
，
，∴
或8，∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2或8．
，即
，∴
．
，即
，∴
．
，
＝16(4＜
≤8)．
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．
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