Question

【题目】如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA，OB的长(OA > OB)是方程x2-10x +24=0的两个根，P(m，n)是第一象限内直线y=kx+b上的一个动点(点P不与点A，B重合).

（1）求直线AB的解析式；

（2）C是x轴上一点，且OC=2，求△ACP的面积S与m之间的函数关系式；

（3）在x轴上是否存在点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请直接写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y= ；（2）当C点在x正半轴时，；当C点在x负半轴时， ；（3）存在. Q1(6- ,0)，Q2(6+ ,0)，Q3（-6，0），Q4（，0）.

【解析】

（1）用待定系数法求直线表达式即可；（2）根据题意得出AC=4或8，根据面积公式计算；（3）根据等腰三角形的判断，分别以满足AQ=AB=，BQ=AB=,QA=QB三种情况进行讨论计算，从而求Q点坐标.

解:(1) ∵x2-10x+24=0，

(x -4)(x-6)=0，

∴x1 =4，x2 =6.

∵OA，OB的长是方程的两个根，且OA > OB，

∴OA =6，OB =4.

∴A(6，0)，B(0，4).

把点A(6，0)，B(0，4)代人y=kx +b中， ，解得

∴直线AB的解析式为 .

(2) ∵直线AB的解析式为，点P(m，n)在直线AB上，

∴点P的纵坐标为,

当点C在x轴正半轴上时，0C=2，AC=4，

= ;

当点C在x轴负半轴上时，OC=2，AC=8，

= .

(3)存在.Q1(-6，0)，Q2(6- 2，0)，Q3，Q4(6+2，0).理由如下：

∵A(6，0)，B(0，4)，∴AB= .当△ABQ为等腰三角形，分三种情况：

①如图，当AQ=AB=时

Q点坐标为Q1(6- ,0)或Q2(6+ ,0)；

②如图，当BQ=BA=时

OA=OQ3=6，Q点坐标为Q3（-6，0）；

③如图，当QA=QB时

设OQ4=t,则Q4A=Q4B=6-t,根据勾股定理得

42+t2=(6-t)2,

解得，t=

∴Q点坐标为Q4（，0）.

综上所述，符合题中条件的Q点有4个，坐标分别为Q1(6- ,0)，Q2(6+ ,0)，Q3（-6，0），Q4（，0）.