Question

【题目】已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD=2，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．

（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长;
（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为？（直接写出答案）
（3）当△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图2），求AP的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°．

∵∠DAB=30°，OB=CD=×2=1，

∴AO=2OB=2，AC=AO﹣CO=2﹣1=1．

当Q、C两点重合时，CP与⊙O相切于点C，如图1，

则有∠ACP=90°，

∴cos∠CAP===，

解得AP=；

（2）

解：有4个位置使△CQD的面积为．

提示：设点Q到CD的距离为h，

∵S△CQD=CDh=×2×h=，

∴h=．

由于h=＜1，结合图2可得：

有4个位置使△CQD的面积为

（3）

解：过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，如图3．

∵S△CQD=CDQN=×2×QN=，∴QN=．

∵CD是⊙O的直径，QN⊥CD，

∴∠CQD=∠QND=∠QNC=90°，

∴∠CQN=90°﹣∠NQD=∠NDQ，

∴△QNC∽△DNQ，

∴=，

∴QN2=CNDN，

设CN=x，则有=x（2﹣x），

整理得4x2﹣8x+1=0，

解得：x1=，x2=．

∵CQ＞QD，∴x=，

∴=2+．

∵QN⊥CD，PM⊥CD，

∴∠PMC=∠QNC=90°．

∵∠MCP=∠NCQ，

∴△PMC∽△QNC，

∴==2+，

∴MC=（2+）MP．

在Rt△AMP中，

tan∠MAP==tan30°=，

∴AM=MP．

∵AC=AM+MC=MP+（2+）MP=1，

∴MP=，

∴AP=2MP=．

【解析】（1）如图1，利用切线的性质可得∠ACP=90°，只需求出AC，然后在Rt△ACP中运用三角函数就可解决问题；
（2）易得点Q到CD的距离为，结合图形2，即可解决问题；
（3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，连接QD，如图3，易证△CNQ∽△QND，根据相似三角形的性质可求出CN．易证△PMC∽△QNC，根据相似三角形的性质可得PM与CM之间的关系，由∠MAP=30°即可得到PM与AM之间的关系，然后根据AC=AM+CM就可得到PM的值，即可得到AP的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用公式法和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握要用公式解方程，首先化成一般式．调整系数随其后，使其成为最简比．确定参数abc，计算方程判别式．判别式值与零比，有无实根便得知．有实根可套公式，没有实根要告之；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．