Question

1．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可得到AB²+AM²=BM²，可判定△ABM为直角三角形．

解答 解：（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，
∴A（-1，0），
又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，
∴B（2，3），
∵抛物线顶点在y轴上，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+c，
把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+c=0}\\{4a+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-1；

（2）△ABM为直角三角形．理由如下：
由（1）抛物线解析式为y=x²-1，可知M点坐标为（0，-1），
∴AM²=1²+1²=2，AB²=（2+1）²+3²=18，BM²=2²+（3+1）²=20，
∴AM²+AB²=2+18=20=BM²，
∴△ABM为直角三角形．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理及其逆定理等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键．本题考查知识点较为基础，难度适中．