Question

某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件.试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.

(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？

(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：

方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；

方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元.

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.

Answer 1

(1)w＝(x-20)[250-10(x-25)]＝-10(x-20)(x-50)＝-10x²＋700x-10 000.

(2)∵w＝-10x²+700x-10 000＝-10(x-35)²＋2 250，

∴当x＝35时，w取到最大值2 250，

即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2 250元.

(3)∵w＝-10(x-35)²＋2 250，∴函数图象是以x＝35为对称轴且开口向下的抛物线.

∴对于方案A，需20＜x≤30，此时图象在对称轴左侧(如下图)，w随x的增大而增大，

∴x＝30时，w取到最大值2 000.

∴当采用方案A时，销售单价为30元可获得最大利润为2 000元.

对于方案B，45≤x＜49，此时图象位于对称轴右侧(如下图)，∴w随x的增大而减小，

故当x＝45时，w取到最大值1 250，

∴当采用方案B时，销售单价为45元可获得最大利润为1 250元.

两者比较，方案A的最大利润更高.