Question

如图，直线AB为⊙O₁，⊙O₂的公共内切线，O₁O₂=12cm，O₁A=3cm，O₂B=5cm，直线AB交O₁O₂于点P．
（1）AB=

 

cm；
（2）O₁P=

 

cm，O₂P=

 

cm．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）由直线AB为⊙O₁，⊙O₂的公共内切线，易证得O₁A∥O₂B，即可得△O₁AP∽△O₂BP，然后由相似三角形的对应边成比例，求得O₁P与O₂P的长，再由勾股定理即可求得AB的长；
（2）由（1）即可求得答案．

解答：解：（1）∵直线AB为⊙O₁，⊙O₂的公共内切线，
∴O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
∴O₁A∥O₂B，
∴△O₁AP∽△O₂BP，
∴O₁P：O₂P=O₁A：O₂B，
∵O₁A=3cm，O₂B=5cm，O₁O₂=12cm，
∴O₁P=12×

3

8

=

9

2

（cm），O₂P=12×

5

8

=

15

2

（cm），
∴在Rt△O₁AP中，AP=

O1P2-O1A2

=

3

2

5

（cm）
同理：BP=

5

2

5

（cm），
∴AB=AP+BP=4

5

（cm）．

（2）由（1），O₁P=

9

2

cm，O₂P=

15

2

cm．

故答案为：（1）4

5

；（2）

9

2

，

15

2

．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．