Question

已知：D为△ABC边BC上一定点，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，若∠B=∠CAE，AF=DF，DF=3，EF=4
（1）求证：AD为∠BAC的平分线；
（2）求证：；
（3）求∠AED的余弦值．

Answer 1

解：（1）∵DE是半圆C的直径，
∴∠DFC=90°，即EF⊥AB；
∵AF=DF，∴EA=ED，∠EDA=∠EAD．
∵∠EDA=∠B+∠BAD，∠EAD=∠DAC+∠CAE；
又∵∠B=∠CAE，
∴∠BAD=∠DAC，即AD平分∠BAC．

（2）连接DM，由圆周角定理可得：∠AEF=∠ADM，
又∵∠DAM=∠EAF，
∴△AFE∽△AMD，
∴；

（3）过点A作AN⊥DE，垂足为N．
∵DF=3，EF=4，∴DE=5，
∴AF=DF=3，AE=DE=5，
由（2），得AF•AD=AM•AE即3×6=AM×5；
∴AM=，∴，
在RT△DME中，．
分析：（1）问应先由EF⊥AD，AF=DF；则∠EDA=∠EAD，再由∠B=∠CAE，相减即可得∠BAD=∠DAC，即AD平分∠BAC；
（2）问应先连接DM，则由∠AEF=∠ADM，∠DAM=∠EAF可得：△AFE∽△AMD，即；
（3）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出．
点评：本题考查相似三角形的判定，切割线定理，勾股定理，圆周角定理等知识点的综合运用，同学们应重点掌握．