题目内容

通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在△ABC中，AB=AC，底角B的邻对记作canB，这时canB= $数学公式$ ，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）can30°=______；
（2）如图（2），已知在△ABC中，AB=AC，canB= $数学公式$ ，S_△ABC=24，求△ABC的周长．

解：

（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B=30°，
∴cos∠B= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BD= $\text{[math]}$ AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC=2BD= $\text{[math]}$ AB，
故can30°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵canB= $\text{[math]}$ ，则可设BC=8x，AB=5x，
∴AE= $\text{[math]}$ =3x，
∵S_△ABC=24，
∴ $\text{[math]}$ BC×AE=12x²=24，
解得：x= $\text{[math]}$ ，
故AB=AC=5 $\text{[math]}$ ，BC=8 $\text{[math]}$ ，
从而可得△ABC的周长为18 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据∠B=30°，可得出BD= $\text{[math]}$ AB，结合等腰三角形的性质可得出BC= $\text{[math]}$ AB，继而得出canB；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，根据canB= $\text{[math]}$ ，设BC=8x，AB=5x，再由S_△ABC=24，可得出x的值，继而求出周长．
点评：本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，表示出各个边的长度．