Question

（2014•宝山区一模）通过锐角三角比的学习，我们已经知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长比与角的大小之间可以相互转化．类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图在△ABC中，AB=AC，
顶角A的正对记作sadA，这时sadA=

底边

腰

=

BC

AB

．我们容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°=

1

；sad90°=

2

．
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是

0＜sadA＜2

．
（3）试求sad36°的值．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答进而得出sad90°的值；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出等腰△ABC，构造等腰三角形BCD，根据正对的定义解答．

解答：解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°=

1

1

=1．
根据正对定义，
当顶角为90°时，等腰三角形底角为45°，
则三角形为等腰直角三角形，
则sad90°=

2

1

=

2

故答案为：1，

2

．

（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为：0＜sadA＜2．

（3）如图所示：已知：∠A=36°，AB=AC，BC=BD，
∴∠A=∠CBD=36°，∠ABC=∠C=72°，
∴△BCD∽△ABC，
∴

BC

AC

=

CD

BC

，
∴

BC

BC+CD

=

CD

BC

，
解得：BC=

1+ 5

2

CD，
∴sad36°=

BC

CD

=

1+ 5

2

．

点评：本题考查了解直角三角形：利用三角函数的定义和相似三角形的判定与性质，根据题意得出BC与CD的关系是解题关键．