Question

如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC于点M，交过点C与圆O相切的直线于点P。

  （1）判断ÐBCP与ÐACD的数量关系，并说明理由。

（2）若AB=9，BC=6，求PC的长。

 

Answer 1

 (1) ÐBCP=ÐACD，

理由：如图j，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。 ∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。

 ∵CN是圆O的直径，∴ÐCBN=90°。∴ÐBNC+ÐBCN=90°，

∵直线PC与圆O相切∴ÐPCO=90°，∴ÐBCP+ÐBCN=90°。

∴ÐBNC=ÐBCP。

  又∵ÐBAC=ÐBNC，ÐBAC=ÐACD，   即ÐBCP=ÐACD

 (2)∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，即ÐOAD=90°。

   ∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC。

    ∴MC=MB。∴AB=AC。

   在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，

 由勾股定理，得AM===6。

   设圆O的半径为r。在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，

   由勾股定理，得OM ²+MC ²=OC ²，即(6-r)²+3²=r²。解得r= 。

   在△OMC和△OCP中，  ∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，

   ∴△OMC～△OCP。 ∴ = ，即 = 。

   ∴PC= 。