Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t。
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积；
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）把A（3，0）B（0，-3）代入，
得解得
所以抛物线的解析式是，
设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，
得解得
所以直线AB的解析式是y=x-3；
（2）设点P的坐标是（p，p-3），则M（p，），
因为p在第四象限，
所以PM=，
当PM最长时，
此时，
；
（3）若存在，则可能是：
①P在第四象限：平行四边形OBMP ，PM=OB=3，PM最长时，所以不可能；
②P在第一象限平行四边形OBPM，PM=OB=3，，
解得，（舍去），
所以P点的横坐标是；
③P在第三象限平行四边形OBPM，PM=OB=3，，
解得（舍去），，
所以P点的横坐标是，
所以P点的横坐标是或。