Question

18．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F．
（1）求证：四边形ABFD是菱形；
（2）设AC⊥AB，求证：AC•OE=AB•EF．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到四边形ABFD是平行四边形，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，等量代换得到∠ADB=∠ABD，证得AB=AD，即可得到结论；
（2）连接AF，OF，根据菱形的性质得到BD垂直平分AF，线段垂直平分线的性质得到AO=OF，由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠FAC，推出△ABC∽△EOF，根据相似三角形的性质得到结论．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴四边形ABFD是菱形；

（2）连接AF，OF，
∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，
∴∠CEF=∠BAC=90°，
∵四边形ABFD是菱形，
∴BD垂直平分AF，
∵AB⊥AC，
∴∠OAF+∠AOB=∠ABD+∠AOB=90°，
∴∠OAF=∠ABD，
∵BD垂直平分AF，
∴AO=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠FOE=2∠FAO=2∠ABD=∠ABC，
∴△ABC∽△EOF，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{EF}{OE}$，
∴AC•OE=AB•EF．

点评 本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．