Question

（本小题满分12分）如图，开口向下顶点为D的抛物线经过点A（0， 5），B（－1，0），C（5，0）与x轴交于B、C两点（B在C左侧），点A和点E关于抛物线对称轴对称．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）经过原点O和点E的直线与抛物线的另一个交点为F.

①求点F的坐标；

②求四边形ADEF的面积；

（3）若M为抛物线上一动点，N为抛物线对称轴上一动点，是否存在M，N，使得以A、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出所有满足条件的M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）①F（，）；②；（3）M1（﹣2，﹣7），M2（6，﹣7），M3（2，9）N1（2，﹣7），N2（2，﹣7），N3（2，1）．

【解析】

试题分析：（1）可将抛物线的解析式设成交点式，然后用待定系数法就可求出抛物线的解析式．

（2）①可先求出直线OE的解析式，然后将直线OE与抛物线的解析式联立，组成方程组，解这个方程组就可得到点F的坐标；

②只需运用割补法就可求出四边形ADEF的面积．

（3）可分AE是平行四边形的对角线和一边这两种情况讨论，然后利用平行四边形的性质就可解决问题．

试题解析：（1）如图1，

由于抛物线经过点B（﹣1，0），C（5，0），

因此该抛物线解析式可设为，把A（0，5）代入，得，

解得：，∴；

（2）①如图2，

∵抛物线的对称轴，点A（0，5）和点E关于抛物线对称轴对称，∴点E的坐标为（4，5），∴直线OE的解析式为，解方程组，得，或，

∴点F坐标为（，）；

②∵，∴抛物线的顶点D的坐标为（2，9），

∴S四边形ADEF=S△ADE+S△AEF=×4×（9﹣5）+×4×（5+）=；

（3）①若AE是平行四边形的对角线，如图3①，

则点M在对称轴上，即在顶点D处，此时点M的坐标（2，9），点N的坐标为（2，1）；

②若AE是平行四边形的一边，如图3①，

则有MN=AE=4，∴点M的横坐标为﹣2或6．

Ⅰ．当x=﹣2时，y=﹣（﹣2）2+4×（﹣2）+5=﹣7，

此时点M的坐标为（﹣2，﹣7），点N的坐标为（2，﹣7）；

Ⅱ．当x=6时，y=﹣62+4×6+5=﹣7，

此时点M的坐标为（6，﹣7），点N的坐标为（2，﹣7）．

综上所述：符合要求的点M、N的坐标为

M1（﹣2，﹣7），M2（6，﹣7），M3（2，9）N1（2，﹣7），N2（2，﹣7），N3（2，1）．

考点：二次函数综合题．