Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若点E为

AB

的中点，AD=

32

5

，AC=8，求AB和CE的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,等腰直角三角形,相似三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）首先连接OC，由直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，易证得OC∥AD，继而可得AC平分∠DAB；
（2）首先连接BC，OE，过点A作AF⊥CE于点F，可证得△ADC∽△ACB，△ACB∽△AFE，△ACF是等腰直角三角形，然后由相似三角形的对应边成比例以及勾股定理，即可求得答案．

解答：（1）证明：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
即AC平分∠DAB；

（2）连接BC，OE，过点A作AF⊥EC于点F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
即

32 5

8

=

8

AB

，
解得：AB=10，
∴BC=

AB2-AC2

=6，
∵点E为

AB

的中点，
∴∠AOE=90°，
∴OE=OA=

1

2

AB=5，
∴AE=

OA2+OE2

=5

2

，
∵∠AEF=∠B（同弧所对圆周角相等），∠AFE=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△AFE，
∴

AB

AE

=

AC

AF

=

BC

EF

，
∴

10

5 2

=

8

AF

=

6

EF

，
∴AF=4

2

，EF=3

2

，
∵∠ACF=

1

2

∠AOE=45°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴CF=AF=4

2

，
∴CE=CF+EF=7

2

．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．