Question

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=

4

3

，BE=7

2

，求线段PC的长．

Answer 1

考点：切线的性质,等腰三角形的判定,勾股定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；
（2）可得∠PFC=∠PCF，即可证得PC=PF，即△PCF是等腰三角形；
（3）首先连接AE，易得AE=BE，即可求得AB的长，继而可证得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC=

4

3

，BE=7

2

，即可求得答案．

解答：解：（1）∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD． 
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．

（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
∴△PCF是等腰三角形．

（3）连接AE．
∵CE平分∠ACB，
∴

AE

=

BE

，
∴AE=BE=7

2

．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，AB=

AE2+BE2

=14．        
∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴

PC

PB

=

AC

BC

．
又∵tan∠ABC=

4

3

，
∴

AC

BC

=

4

3

，
∴

PC

PB

=

4

3

．
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC²+OC²=OP²，
∴（4k）²+7²=（3k+7）²，
∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．
∴PC=4k=4×6=24．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．