Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点点；点在直线的右侧，且．

（1）若为直角三角形，求点的坐标；

（2）如图2，若点在第四象限，且，与轴交于点，与轴交于点，连接，求证：是两个外角平分线的交点．

Answer 1

【答案】（1）P（4，2）或（2，﹣2）；（2）证明见解析．

【解析】

（1）分两种情况，利用等腰三角形的性质，及全等三角形的性质求出PC，BC，即可得出结论；

（2）过点P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，PE⊥MN于E.证明PC=PD=PE即可.

（1）A(﹣2，0)，B(0，4)，

∴OA=2，OB=4.

∵△ABP是直角三角形，且∠APB=45°，

∴只有∠ABP=90°或∠BAP=90°，

如图2.

①当∠ABP=90°时.

∵∠APB=∠BAP=45°，

∴AB=PB，

过点P作PC⊥OB于C，

∴∠BPC+∠CBP=90°.

∵∠CBP+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠BPC，

在△AOB和△BCP中，

∵，

∴△AOB≌△BCP(AAS)，

∴PC=OB=4，BC=OA=2，

∴OC=OB﹣BC=2，

∴P(4，2)，

②当∠BAP'=90°时，过点P'作P'D⊥OA于D.

同①的方法得：△ADP'≌△BOA，

∴DP'=OA=2，AD=OB=4，

∴OD=AD﹣OA=2，

∴P'(2，﹣2)；

综上所述：满足条件的点P(4，2)或(2，﹣2)；

（2）过点P作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，PE⊥MN于E.如图3，由（1）知点P(2，﹣2).

∵A(﹣2，0)，

∴直线AP的解析式为yx﹣1，

∴M(0，﹣1)，

∴BM=5，

同理：直线BP的解析式为y=﹣3x+4，

∴N(，0).

易求直线MN的解析式为.

∵直线PE⊥直线MN，

∴直线PE的解析式为，即.

解方程组，得：，

∴E(，)，

∴PE==2.

∵P(2，﹣2)，

∴PC=PD=2.

∵PD=PE，

∴P在∠DMN的平分线上.

∵PE=PC，

∴P在∠MNC的平分线上，

∴P是△OMN两个外角平分线的交点.