题目内容
【题目】如图1，四边形
内接于直径为
的圆，
．
（1）①
_ ；
②四边形的周长最大值为_ ；
如图2，延长
相交于点
，延长
相交于点
求
与的
积；
如图3，连接
请问在线段
上是否存在点
与点
关于直线
对称，若存在，请证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①
；②
；（2）108；（3）存在，理由见解析
【解析】
（1）①连接BD，根据题意得出△ABD为等边三角形，再分别作△ABD三边的垂直平分线BE、DF、AM交于点O，则点O即为该圆的圆心，之后利用
求出DM，由此进一步求解即可得出答案；②如图，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE，再过点B作BF垂直于ED的延长线于点F，根据题意进一步证明△DCE为等边三角形，从而得出BC+CD=BC+CE=BE，然后进一步分析得出当
时，BE最大，据此通过分析即可得出答案；
（2）连接
，根据题意首先证明∠1=∠F，∠2=∠E，从而得出
，然后利用相似三角形性质得出
，据此即可求出
；
（3）作点
与点
关于直线对称，并连接
，
，结合（2）中的证明得出
，由此可得
，即
，据此，根据题意再接着证明
，从而即可得出
、、
在同一直线上，即在线段
上存在点与点关于直线对称．
（1）
①
如图，连接BD，
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
再分别作△ABD三边的垂直平分线BE、DF、AM交于点O，则点O即为该圆的圆心，
∴AO=DO=BO=6，∠ODM=30°，
∴，
∴
，
∴
；
②如图，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE，再过点B作BF垂直于ED的延长线于点F，
∵∠A=60°，
∴∠DCB=120°，
∴∠DCE=60°，
∵DC=CE，
∴△DCE为等边三角形，
∴∠E=60°，BC+CD=BC+CE=BE，
在Rt△BFE中，
，
∵
，
∴当时，BE最大，
∴此时
，
∴四边形
的周长最大值为：
，
故答案为：①；②；
（2）如图，连接，
∵∠A=60°，AB=AD，四边形内接于圆，
∴∠DCB=120°，∠ADB=∠ABD=60°，
，
∴∠1+∠E=∠ABD=60°，
，
，
∴∠1=∠F，∠2=∠E，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
如图，作点与点关于直线对称，并连接，，
∵△ABD是等边三角形，点与点关于直线对称，
∴
60°，
60°，
，
∴
60°，
由（2）可知：
∴，
∴，
∴，
∵
，
∴
，
∴
∴、、在同一直线上，
∴在线段上存在点与点关于直线对称．
