Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是

BC

的中点，过点D作AC的延长线的垂线DP，垂足为P．若PD=12，PC=8，求⊙O的半径R的长．

Answer 1

分析：连接BC、OD，相交于点E．因为D是弧BC的中点，根据垂径定理及推论可以知道OD⊥BC，且BE=CE，而AB是直径，可以推出∠ACB=90°；而已知∠APD=90°，这样可以推出PD∥BC，然后可以推出PD为⊙O的切线，四边形PDEC为矩形，再根据切割线定理求出PA，最后在Rt△ACB中利用勾股定理求出圆的半径．

解答：解：连接BC、OD，相交于点E；
∵点D是

BC

的中点，
∴OD⊥BC，且BE=CE，（2分）
∵∠ACB=∠APD=90°，
∴PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∴PD为⊙O的切线；（4分）
∵四边形PDEC为矩形，
∴PD=CE=12，
∴BC=2CE=24；（6分）
∵PD²=PC•PA，
∴PA=

PD2

PC

=

122

8

=18，
∴AC=PA-PC=18-8=10；（8分）
∵AB²=AC²+BC²=10²+24²=676，
∴AB=26，
∴⊙O的半径R=13（10分）．

点评：此题主要考查了垂径定理，切线的判定定理，切割线定理及勾股定理的综合运用．