Question

（2012•道里区二模）矩形ABCD，∠ACD=30°，点E为矩形ABCD的边BC上一动点，∠EAD的平分线交CD于点F过点A作EA的垂线交CD的延长线于点G
（1）如图1，求证：AG=DF+

3

3

BE；
（2）当点E与点C重合时，如图2，点H在GA的延长线上，连接BH，点M为BH中点，连接FM，FM=

21

，连接HC交AB于点N，若tan∠BCD=

5 3

9

，求HN的长．

Answer 1

分析：（1）根据四边形ABCD是矩形得到AB=CD，在Rt△ACD中得到AB=

3

AD，再证出△BAE∽△DAG，利用相似三角形的性质，得到

AB

DA

=

BE

DG

，结合AB∥CD，证出AG=FG=DF+DG=DF+

3

3

BE．
（2）证出△AFG为等边三角形，过点H作HK⊥CD于点K，由HK∥BC，tan∠CHK=

5 3

9

，设CK=5

3

x，则HK=9x，在Rt△HKG内，∠G=60°，KG=3

3

x，HG=6

3

x，CG=8

3

x，
进而得到CD=AB=HG=6

3

x，连接FH，FB，∠BAF=∠HGF=60°，FG=FA，得到△HGF≌△BAF，推出∠BFH=∠AFG=60°，从而判断出△BFH为等边三角形，利用等边三角形的性质
结合勾股定理得到HN=

2 13

3

．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB=CD，
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，CD=

3

AD，
∴AB=

3

AD，
∵AE⊥AG，
∴∠EAG=∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=90°，∠GAD+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠GAD，
∵∠B=∠ADG=90°，
∴△BAE∽△DAG，
∴

AB

DA

=

BE

DG

，
∴DG=

3

3

BE，
∵∠EAF=∠FAD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠FAG=∠AFG，
∴AG=FG，
∴AG=FG=DF+DG=DF+

3

3

BE．

（2）在Rt△ABC中，∠BCA=60°，由（1）可知，∠G=∠BCA=60°，∠DAG=30°，
∴∠BAG=120°，
∴∠BAF=∠AFG=∠FAG=∠G=60°，
∴△AFG为等边三角形，过点H作HK⊥CD于点K，HK∥BC，
∴∠CHK=∠BCH，
∴tan∠CHK=

5 3

9

，设CK=5

3

x，则HK=9x，在Rt△HKG内，∠G=60°，KG=3

3

x，HG=6

3

x，CG=8

3

x，
∠FAC=∠ACF=30°，
∴AF=FC=2DF，
∴CD=AB=HG=6

3

x，连接FH，FB，∠BAF=∠HGF=60°，FG=FA，
∴△HGF≌△BAF，
∴FB=FH，∠BFA=∠HFG，
∴∠BFH=∠AFG=60°，
∴△BFH为等边三角形，
∴FM⊥BH，
∵∠FBH=60°，
∴FH=

2

3

FM=2

7

，FC=4

3

x，FK=

3

x，在Rt△FHK内，FH²=FK²+HK²，
∴x=

3

3

，
∴HK=3

3

，CK=5，在Rt△CHK内，CH=

52+(3 3 )2

=2

13

，
由AN∥CG，
∴

HN

HC

=

HA

HG

=

1

3

，
∴HN=

2 13

3

．

点评：本题考查了相似形综合题，涉及勾股定理、相似三角形的性质、三角函数等知识，旨在考查对知识的综合运用能力，有一定难度．