Question

（2012•道里区二模）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线交AC于点D，∠ADB绕点D旋转至以∠A′DB′，当射线DA′经过AB的一个三等分点时，射线DB′直线BC于点E，则∠BED为

60或120

 度．

Answer 1

分析：设AB=6a，先分别解直角△ABC和直角△BCD，求出每一条边和每一个角的大小，再根据三角形内角和定理求出∠ADB=120°．设线段A′D与AB边交于点F，由于点F为AB的一个三等分点，所以可分两种情况进行讨论：①如果AF=

1

3

AB，先证明△DAF∽△ABD，得到∠ADF=∠BAD=30°，再由旋转的性质得出∠A′DB′=∠ADB=120°，根据平角的定义求出∠CDE=30°，然后由三角形外角的性质求出∠BED=120°；②如果AF=

2

3

AB，先证明△DAF∽△CAB，得到∠ADF=∠ACB=90°，再由旋转的性质得出∠BDB′=∠ADA′=90°，然后由三角形内角和定理求出∠BED=60°．

解答：解：设线段A′D与AB边交于点F．设AB=6a．
在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=3a，AC=3

3

a，∠ABC=90°-∠A=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=120°．
在△DBC中，∵∠C=90°，∠DBC=30°，BC=3a，
∴DC=

3

a，BD=2DC=2

3

a，
∴AD=AC-DC=3

3

a-

3

a=2

3

a．
分两种情况：
①如图1，当AF=

1

3

AB时，则AF=2a．
∵AD=2

3

a，AB=6a，AF=2a，BD=2

3

a，
∴AD：AB=AF：BD，
又∵∠DAF=∠ABD=30°，
∴△DAF∽△ABD，
∴∠ADF=∠BAD=30°．
∵∠A′DB′=∠ADB=120°，
∴∠CDE=180°-∠ADF-∠A′DB′=30°，
∴∠BED=∠CDE+∠C=30°+90°=120°；
②如图②，当AF=

2

3

AB时，
∵AD=2

3

a，AC=3

3

a，
∴AD：AC=AF：AB，
又∵∠A=∠A，
∴△DAF∽△CAB，
∴∠ADF=∠ACB=90°，
∴∠BDB′=∠ADA′=90°，
∴∠BED=180°-∠BDE-∠DBE=180°-90°-30°=60°．
综上可知，∠BED为60°或120°．
故答案为60或120．

点评：本题考查了解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理及外角的性质，综合性较强，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．