Question

15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，且BD=BC，过点B作CD的垂线交AC于点O，以O为圆心，OC为半径画圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB=10，AD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证明△DBO≌△CBO，即可证得∠ODB=90°，从而证得AB是切线；
（2）Rt△ABC中利用勾股定理求得AC的长，然后在直角△ADO中根据勾股定理列方程求得半径的长．

解答 （1）证明：连接OD
∵BD=BC，BO⊥CD，
∴∠DBO=∠CBO．
∵BD=BC，∠DBO=∠CBO，OB=OB
∴△DBO≌△CBO，
∴OD=OC，∠ODB=∠OCB=90°，
∴AB是⊙O的切线．

（2）∵AB=10，AD=2，∴BC=BD=AB-AD=8，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，AO=AC-OC=6-r，
在Rt△ADO中，∵AD²+OD²=AO²
∴2²+r ²=（6-r）²．
解之得r=$\frac{8}{3}$，即⊙O的半径为$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定以及勾股定理，证明切线常用的方法是转化为证明垂直关系．