Question

如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，=．求证：
（1）AD∥OC；
（2）CD是⊙O的切线．

Answer 1

证明：连接OD．
（1）∵=，
∴∠DOE=∠BOE（等弧所对的圆心角相等）．
∴∠COB=∠DOB．
∵∠DAO=∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠DAO=∠COB（等量代换），
∴AD∥OC（同位角相等，两直线平行）；

（2）∵BC⊥AB，
∴∠CBA=90°，即∠CBO=90°．
在△DOC和△BOC中，
，
则△DOC≌△BOC（SAS），
∴∠CDO=∠CBO=90°，即CD是⊙O的切线．
分析：连接OD．
（1）根据“在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等”、圆周角定理证得同位角∠DAO=∠COB；
（2）通过△DOC≌△BOC（SAS）的对应角∠CDO=∠CBO=90°证得CD是⊙O的切线．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦间的关系，切线的判定．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．