Question

已知：抛物线y=a（x-2）²+b（ab<0）的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）。
（1）直接写出抛物线对称轴方程；
（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；
（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由。

Answer 1

解：（1）抛物线对称轴方程：x=2； （2）设直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0）， ∵抛物线经过原点， ∴B（0，0），C（4，0） ∵△ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知AB=AC， ∴AE=BE=EC， ∴A（2，-2）或（2，2）， 当抛物线的顶点为A（2，-2）时，， 把（0，0）代入，得：，此时b=-2， 当抛物线的顶点为A（2，2）时，， 把（0，0）代入，得：，此时b=2， ∴，b=-2或，，b=2； （3）依题意，B、C关于点E中心对称， 当A，D也关于点E对称，且BE=AE时， 四边形ABDC是正方形， ∵， ∴， ∴， 把代入，得ab2+b=0， ∵b≠0， ∴ab=-1。