Question

13．如图，BD为?ABCD的对角线，按要求完成下列各题．
（1）用直尺和圆规作出对角线BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，垂足为O．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的基础上，连接BE和DF．求证：四边形BFDE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质画出图形即可；
（2）先根据题意得出△DOE≌△BOF  （ASA），故可得出EO=FO，即四边形BFDE 是平行四边形，根据EF⊥BD即可得出结论．

解答 解：（1）如图，E、F即为所求；

（2）证明：在□ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
又∵EF垂直平分BD，
∴BO=DO，∠EOD=∠FOB=90°，
在△DOE与△BOF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CBD}\\{BO=DO}\\{∠EOD=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOF  （ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BFDE 是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴□BFDE为菱形．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．