Question

【题目】如图1，在四边形中，，，对角线与交于点，平分．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）如图2，在（1）的条件下，过点作交的延长线于点，连接．若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2．

【解析】

（1）利用平行线的性质和角平分线的定义证明AD=CD，从而证明AB=CD，继而证明四边形ABCD为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

（2）先根据菱形的对角线垂直平分，利用勾股定理求得AO的长度，从而得出AC的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得OE的长度．

解：（1）∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴,

∴，

又∵

∴

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵

∴平行四边形ABCD为菱形．

（2）∵四边形ABCD为菱形，

∴,

又∵，

∴在Rt△AOB中，根据勾股定理，

，

∴，

∵，

∴．