Question

已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，G为⊙O上一点，AG的延长线交CD的延长线于点E，过点G的切线交DE于点F
（1）求证：GF=FE；
（2）若AG=6，BG=8，CD=8，试求GF的长．

Answer 1

分析：（1）连结OG，根据切线的性质得OG⊥GF，则∠OGA+∠2=90°，而∠OGA=∠A，得到∠A+∠2=90°，再由CD⊥AB于H得∠E+∠A=90°，所以∠2=∠E，根据等腰三角形的判定即可得GF=FE；
（2）连结OC，根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠AGB=90°，根据勾股定理可计算出AB=10；再由AB⊥CD，根据垂径定理得CH=

1

2

CD=4，然后根据勾股定理计算OH=3，则AH=8；接着证明Rt△ABG∽Rt△AEH，利用相似比可计算AE=

40

3

，于是EG=

22

3

，最后证明两等腰三角形△OBG和△FGE相似，运用相似比可计算出GF．

解答：（1）证明：连结OG，如图，
∵GF为⊙O的切线，
∴OG⊥GF，
∴∠OGF=90°，
∴∠OGA+∠2=90°，
而OG=OA，
∴∠OGA=∠A，
∴∠A+∠2=90°，
∵CD⊥AB于H，
∴∠AHE=90°，
∴∠E+∠A=90°，
∴∠2=∠E，
∴GF=FE；

（2）解：连结OC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AGB=90°，
∵AG=6，BG=8，
∴AB=

AG2+BG2

=10，
∵AB⊥CD，
∴CH=DH=

1

2

CD=4，
在Rt△OCH中，OC=5，CH=4，
∴OH=

OC2-CH2

=3，
∴AH=AO+OH=8，
∵∠BAG=∠EAH，
∴Rt△ABG∽Rt△AEH，
∴

AB

AE

=

AG

AH

，即

10

AE

=

6

8

，解得AE=

40

3

，
∴EG=AE-AG=

22

3

，
又∵∠1+∠BGF=90°，∠2+∠BGF=90°，
∴∠1=∠2，
而△OBG和△FGE都是等腰三角形，
∴△OBG∽△FGE，
∴

OB

GF

=

BG

GE

，即

5

GF

=

8

22 3

，
∴GF=

55

12

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理和圆周角定理．