Question

如图，⊙O₁、⊙O₂相交于P、Q两点，其中⊙O₁的半径r₁=2，⊙O₂的半径r₂=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O₁和⊙O₂于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O₁和⊙O₂于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．

（1）求证：；

（2）若PQ=2，试求∠E度数．

Answer 1

考点：相交两圆的性质；三角形内角和定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。

解答：（1）证明：∵⊙O₁的半径r₁=2，⊙O₂的半径r₂=，

∴PC=4，PD=2，

∵CD⊥PQ，

∴∠PQC=∠PQD=90°，

∴PC．PD分别是⊙O₁、⊙O₂的直径，

在⊙O₁中，∠PAB=∠PCD，

在⊙O₂中，∠PBA=∠PDC，

∴△PAB∽△PCD，

∴===，

即=．

（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r₁=4，PQ=2，

∴cos∠CPQ=，

∴∠CPQ=60°，

∵在Rt△PDQ中，PD=2r₂=2，PQ=2，

∴sin∠PDQ=，

∴∠PDQ=45°，

∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，

又∵PD是⊙O₂的直径，

∴∠PBD=90°，

∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°

在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°，

答：∠E的度数是75°．