Question

20．如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB=72°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠ADC的度数为（　　）

• A． 62°
• B． 65°
• C． 68°
• D． 70°

Answer 1

分析 延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=54°，再根据∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA即可得出结论．

解答  解：延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，
∵BD是∠ABC的平分线
在△BDE与△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BD}\\{∠AED=∠DFC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BDF，
∴DE=DF，
又∵∠BAD+∠CAD=180°，
∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，
过D点作DG⊥AC于G点，
在RT△CDG与RT△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴RT△ADE≌RT△ADG，
∴DE=DG，
∴DG=DF．
在RT△CDG与RT△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{DG=GF}\end{array}\right.$，
∴RT△CDG≌RT△CDF，
∴CD为∠ACF的平分线
∠ACB=72°
∴∠DCA=54°，
△ABC中，
∵∠ACB=72°，∠ABC=50°，
∴∠BAC=180°-72°-50°=58°，
∴∠DAC=$\frac{180°-58°}{2}$=61°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA=180°-61°-54°=65°．
故选：B．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°，全等三角形的判定与性质等知识是解答此题的关键．