Question

半径为R的圆的内接正n边形的面积等于

 

．

Answer 1

分析：画出简图，在直角△AOC中，利用三角函数求出圆内接正n边形的边长和边心距，然后用三角形的面积公式计算，求出n个三角形的面积的和，就是这个正多边形的面积．

解答：解：如图：
AB是半径为R的圆内接正n边形的一边，作OC⊥AB，
则∠AOC=

180°

n

，在直角△AOC中，AC=OA•sin

180°

n

，OC=OA•cos

180°

n

，
所以半径为R的圆的内接正n边形的边长为2Rsin

180°

n

，边长距为Rcos

180°

n

，
则正n边形的面积为=n•

1

2

•2Rsin

180°

n

•Rcos

180°

n

=nR²sin

180°

n

cos

180°

n

．
故答案是：nR²sin

180°

n

cos

180°

n

．

点评：本题考查的是正多边形和圆，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB得到直角三角形，在直角三角形中利用三角函数计算求出边长和边心距，然后计算正多边形的面积．