Question

如图，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，PA与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D．

（1）求证：CD是小半圆M的切线；

（2）若AB=8，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），设PD=x，CD²=y．

①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②当y=3时，求P，M两点之间的距离．

Answer 1

解：（1）连接CO、CM，如图1所示．

∵AO是小半圆M的直径，

∴∠ACO=90°即CO⊥AP．

∵OA=OP，

∴AC=PC．

∵AM=OM，

∴CM∥PO．

∴∠MCD=∠PDC．

∵CD⊥OP，

∴∠PDC=90°．

∴∠MCD=90°即CD⊥CM．

∵CD经过半径CM的外端C，且CD⊥CM，

∴直线CD是小半圆M的切线．

 

（2）①∵CO⊥AP，CD⊥OP，

∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．

∴∠OCD=90°﹣∠DCP=∠P．

∴△ODC∽△CDP．

∴．

∴CD²=DP•OD．

∵PD=x，CD²=y，OP=AB=4，

∴y=x（4﹣x）=﹣x²+4x．

当点P与点A重合时，x=0；当点P与点B重合时，x=4；

∵点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），

∴0＜x＜4．

∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x²+4x，

自变量x的取值范围是0＜x＜4．

 

②当y=3时，﹣x²+4x=3．

解得：x₁=1，x₂=3．

Ⅰ．当x=1时，如图2所示．

在Rt△CDP中，

∵PD=1，CD=．

∴tan∠CPD==，

∴∠CPD=60°．

∵OA=OP，

∴△OAP是等边三角形．

∵AM=OM，

∴PM⊥AO．

∴PM=

=

=2．

Ⅱ．当x=3时，如图3所示．

同理可得：∠CPD=30°．

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠APO=30°．

∴∠POB=60°

过点P作PH⊥AB，垂足为H，连接PM，如图3所示．

∵sin∠POH===，

∴PH=2．

同理：OH=2．

在Rt△MHP中，

∵MH=4，PH=2，

∴PM=

=

=2．

综上所述：当y=3时，P，M两点之间的距离为2或2．