Question

如图，抛物线y=﹣x²+x﹣2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．

（1）求点B，C所在直线的函数解析式；

（2）求△BCF的面积；

（3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当y=0时，﹣x²+x﹣2=0，

解得x₁=2，x₂=4，

∴点A，B的坐标分别为（2，0），（4，0），

当x=0时，y=﹣2，

∴C点的坐标分别为（0，﹣2），

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

则，

解得．

∴直线BC的解析式为y=x﹣3；

 

（2）∵CD∥x轴，BD∥y轴，

∴∠ECD=90°，

∵点B，C的坐标分别为（4，0），（0，﹣2），

∴BC===2，

∵△FEC是由△BDC绕点C逆时针旋转得到，

∴△BCF的面积=BC•FC=×2×2=10；

 

（3）存在．

分两种情况讨论：

①过A作AP₁⊥x轴交线段BC于点P₁，则△BAP₁∽△BOC，

∵点A的坐标为（2，0），

∴点P₁的横坐标是2，

∵点P₁在点BC所在直线上，

∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1，

∴点P₁的坐标为（2，﹣1）；

②过A作AP₂⊥BC，垂足点P₂，过点P₂作P₂Q⊥x轴于点Q．

∴△BAP₂∽△BCO，

∴=，=

∴=，

解得AP₂=，

∵=，

∴AP₂•BP=CO•BP₂，

∴×4=2BP₂，

解得BP₂=，

∵AB•QP₂=AP₂•BP₂，

∴2QP₂=×，

解得QP₂=，

∴点P₂的纵坐标是﹣，

∵点P₂在BC所在直线上，

∴x=

∴点P₂的坐标为（，﹣），

∴满足条件的P点坐标为（2，﹣1）或（，﹣）．