Question

4．（1）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b=$\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$，例如3※2=$\frac{\sqrt{3+2}}{3-2}$=$\sqrt{5}$，求8※12的值．
（2）先化简，再求值：$\frac{2}{a-1}$+$\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}-1}$÷$\frac{a-2}{a+1}$，其中a=1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据运算的定义转化为根式的计算，然后对所求的式子进行化简；
（2）首先把所求的式子分子和分母分解因式，把除法转化为乘法，计算乘法，再进行分式的加法运算即可化简，最后代入数值计算即可．

解答 解：（1）原式=$\frac{\sqrt{8+12}}{8-12}$=$\frac{\sqrt{20}}{-4}$=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（2）原式=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{（a-2）^{2}}{（a+1）（a-1）}$•$\frac{a+1}{a-2}$
=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{a-2}{a-1}$
=$\frac{a}{a-1}$，
当a=1+$\sqrt{2}$时，原式=$\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了分式的化简求值，正确对分式的分子和分母分解因式是解题的关键．