Question

已知抛物线y=x²+kx+1与x轴两个交点A、B都在原点左侧，顶点为C，△ABC是等腰直角三角形，求k的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：设A（a，b），B（c，d）是抛物线y=x²+kx+1与x轴的两个交点，利用根与系数的关系以及完全平方公式的变形公式求得AB的长度；然后利用顶点坐标公式求得CD的长度；最后由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．

解答：解：设A（a，b），B（c，d）是抛物线y=x²+kx+1与x轴的两个交点，
∴a+c=-k，ac=1，
∴AB=

(a+c)2-4ac

=

k2-4

∵抛物线的解析式为：y=x²+kx+1，
∴C（-

k

2

，

4-k2

4

）．
∵△ABC是等腰直角三角形，抛物线的顶点为C，
∴CD=

1

2

AB，即|

4-k2

4

|=

1

2

k2-4

解得 k₁=2，k₂=-2（舍去），
即k的值是2．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，等腰直角三角形．求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．