题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，- $数学公式$ ），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作x轴的平行线交BC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；
（4）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），
由抛物线的对称性知B点坐标为（3，0），
依题意得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴所求二次函数的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），
依题意，得 $\text{[math]}$ ，
∴解得： $\text{[math]}$ ，
故直线BC的解析式为：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；

（3）∵P点的横坐标为m，
∴P点的纵坐标为： $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ，
∵直线BC的解析式为：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；
∴点F的坐标为（m， $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ），
∴PF=- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m（0＜m＜3）；

（4）∵△PBC的面积为：
S=S_△CPF+S_△BPF
= $\text{[math]}$ PF×BO= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m）×3
=- $\text{[math]}$ （m- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴当m= $\text{[math]}$ 时，△PBC的最大面积为 $\text{[math]}$ ，
把m= $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ，
得y=- $\text{[math]}$ ，
∴点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）可以采用待定系数法求二次函数的解析式，因为点A（-1，0）、C（0，- $\text{[math]}$ ）在函数图象上，对称轴为x=1，也可求得A的对称点B的坐标为（3，0），列方程组即可求得解析式；
（2）利用待定系数法求得直线BC的解析式即可；
（3）由（2）可求得点F的坐标为（m， $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ），再求得点P的纵坐标为 $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ，可得线段PF的长；
（4）利用面积和，△PBC的面积S=S_△CPF+S_△BPF= $\text{[math]}$ PF×BO，即可求出．
点评：此题考查了二次函数综合应用，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法，注意三角形面积的求法．