Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴于点，，，点的坐标为．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求的面积；

（3）是轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）9；（3）点坐标为（0，5）或（0，-5）或（0，8）或

【解析】

（1）先根据勾股定理求出OD=3，AD=4，得出点A（3，4），进而求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB解析式；

（2）求出直线AB与y轴的交点坐标，再根据解答即可；

（3）设出点P坐标，进而表示出OP，AP，OA，利用等腰三角形的两边相等建立方程求解即可得出结论．

（1）∵，

∴设，则，

，

∴，

∴，，

∴点的坐标为（3，4），

∵过点，

∴，

∴，当时，，

∴点坐标为（-6，-2），

∵直线过，

∴ 解得

∴直线解析式为．

（2）如图，记直线与轴交于点，

对于，当时，，

∴点坐标为（0，2），

∴．

（3）设点P（0，m），

∵A（3，4），O（0，0），

∴OA=5，OP=|m|，AP=，

∵△AOP是等腰三角形，

∴①当OA=OP时，

∴|m|=5，

∴m=±5，

∴P（0，5）或（0，-5），

②当OA=AP时，

∴5=，

∴m=0（舍）或m=8，

∴P（0，8），

③OP=AP时，

∴|m|=，

∴m=，

∴P（0，），

即：当P点坐标为（0，8），（0，5），（0，-5）或（0，）时，△AOP是等腰三角形．