Question

如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120，点D是劣弧AB的切线。

（1）求证：四半AOBD是菱形；

（2）延长线段BO至点P,交⊙O于另一点C,且BP=3OB,求证:AP是⊙O的切线。

Answer 1

（1）证明：连接OD∵D为弧AB中点，∠AOB=120^O

∴∠AOD=∠BOD =60^O （1分）

又∵OA=OD=OB

∴△AOD和△BOD都是等边三角形。　　　 （2分）

∴OA=OB=BD=DA

∴四边形AOBD是菱形　　　　　　　　　 （2分）

（2）证明:连接AC

∵∠AOB=120^O

∴∠AOC=60^O

∴△AOC是等边三角形　　　　　　　　　 （1分）

∴AC=CO　　　　　　　　　　　　　　　 （1分）

又∵BP=3OB　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴AC=PC=CO

∴△PAO为直角三角形

∴PA⊥OA

∴ PA为⊙O的切线　　　　　　　　　　　 （2分）