[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理.它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图.利用面积法进行证明.著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系带到其它星球.作为地球人与其他星球“人进行第一次“谈话的语言,[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理,[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础.将两个直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；
[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；
[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明$\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$，其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD=$\sqrt{2}c$
又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即BC＜AD
∴$\frac{a+b}{c}$$＜\sqrt{2}$．

分析（1）根据勾股定理用文字及符号语言叙述；
（2）利用SAS可证△ABE≌△ECD，可得对应角相等，结合90°的角，可证∠AED=90°，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积和，可证a²+b²=c²；
（3）在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已证△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=$\sqrt{2}$c，从而可证 $\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$．

解答解：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
（2）如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²．
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC；
又∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°；
∴∠AED=90°；
S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED=$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²；
$\frac{1}{2}$（a²+2ab+b²）=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²；
整理得a²+b²=c²．
（3）∵AD=$\sqrt{2}$c，BC＜AD，
∴a+b＜$\sqrt{2}$c，即 $\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}c$；BC＜AD