Question

如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧

APB

上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
①求∠ACB的度数为

 

；
②记△ABC的面积为S，若

S

DE2

=4

3

，则⊙D的半径为

 

．

Answer 1

分析：①根据切线的判定定理得出AB与⊙D相切于E点，进而得出⊙D是△ABC的内切圆，根据OM=

1

2

OP=0.5，得出∠MOB=60°，进而得出∠ACB的度数；
②根据S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB+S_△BDC，得出△ABC的面积为S=

1

2

（AB+AN+CN+BC）×DE，由切线长定理以及DE=DN=

1

2

CD，
得出CN=

3

DE，再利用已知求出⊙D的半径．

解答：解：①连接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于点E，点D为圆心、DE长为半径作⊙D，
∴AB与⊙D相切于E点，
又∵过点A、B作⊙D的切线，
∴⊙D是△ABC的内切圆，
∵⊙O的半径为1，
∴OP=1，
∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OM=

1

2

OP=0.5，
∴MO=

1

2

OB，
∴∠MOB=60°，同理可得：∠AOB=120°，
∴∠DAB+∠DBA=

1

2

（∠CAB+∠CBA）=60°，
∴∠ACB的度数为60°，
故答案为：60°；

②∵OM=

1

2

OP=0.5，
∴BM=

3

2

，AB=

3

，
∵AE=AN，BE=BQ，
∴△ABC的面积为S=

1

2

（AB+AN+CN+BC）×DE=

1

2

（2

3

+2CN）×DE，
∵△ABC的面积为S，

S

DE2

=4

3

，
∴

1 2 (2 3 +2CN)×DE

DE2

=4

3

，
∵DE=DN=

1

2

CD，
∴CN=

3

DE，
∴

2 3 +2 3 DE

2DE

=4

3

，
解得：DE=

1

3

，
则⊙D的半径为：

1

3

，
故答案为：

1

3

．

点评：此题主要考查了三角形内切圆性质与圆周角定理和垂径定理等知识，题目综合性较强，得出S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB+S_△BDC是解决问题的关键．