Question

【题目】如图，，是以为直径的上的点，，弦交于点．

（1）当是的切线时，求证：；

（2）已知，是半径的中点，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）线段的长为

【解析】

（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD＝90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD＝90°，利用圆周角定理得出∠BAD＝∠DCB，进而得证；

（2）连接OC，根据得出∠AOC＝∠BOC＝90°，利用勾股定理求出CE的长，通过证明△ADE∽△CBE得出，进而求解．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，即∠BAD+∠ABD＝90°，

∵PB是⊙O的切线，

∴∠ABP＝90°，即∠PBD+∠ABD＝90°，

∴∠BAD＝∠PBD，

又∵∠BAD＝∠DCB，

∴∠PBD＝∠DCB；

（2）解：连接OC，

∵，AB是直径，

∴∠AOC＝∠BOC＝90°，

∵OA＝4，E是半径OA的中点，

∴，AE＝2，BE＝6，

∵∠A＝∠C、∠AED＝∠CEB，

∴△ADE∽△CBE，

∴，即，

∴，

解得，，

∴线段的长为．