题目内容

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交与A（1，O），B（-4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上找一点Q，使得△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；
（3）设平行于y轴的直线x=m（-1- $数学公式$ ＜m＜0）与抛物线交于点M，与直线y=-x交于点N．连结BM、CM、NC、NB，问是否存在m的值，使四边形BNCM的面积S最大？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，O），B（-4，0）两点，
将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：-1+b+c=0，-16-4b+c=0
解得：b=-3，c=4
所以，该抛物线的解析式为：y=-x²-3x+4；

（2）存在
∵由前面的计算可以得到，C（0，4），且抛物线的对称轴为直线x=- $\text{[math]}$
∴由抛物线的对称性，点A、B关于直线x=- $\text{[math]}$ 对称，
∴当QC+QA最小时，△QAC的周长就最小
∴当点Q在直线BC上时QC+QA最小，
此时：直线BC的解析式为y=x+4，
当x= $\text{[math]}$ 时，y= $\text{[math]}$ ，
∴在该抛物线的对称轴上存在点Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），使得△QAC的周长最小；

（3）由题意，M（m，-m²-3m+4），N（m，-m）
∴线段MN=-m²-3m+4-（-m）=-m²-2m+4=-（m+1）²+5
∵S_{四边形BNCM}=S_△BMN+S_△CMN=0.5MN×BO=2MN=-2（m+1）²+10
∴当m=-1时（在-1- $\text{[math]}$ ＜m＜0内），四边形BNCM的面积S最大．
分析：（1）A，B的坐标代入抛物线y=-x²+bx+c确定解析式．
（2）A，B关于对称轴对称，BC与对称轴的交点就是点Q．
（3）四边形BNCM的面积等于△MNB面积+△MNC的面积．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，求直线上一点到直线外同旁两点的距离之和最小的问题是通过对称转化为两点之间线段最短解决．不规则几何图形的面积问题往往是转化为规则几何图形的面积解决．

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26、已知：如图，抛物线C₁，C₂关于x轴对称；抛物线C₁，C₃关于y轴对称．抛物线C₁，C₂，C₃与x轴相交于A、B、C、D四点；与y相交于E、F两点；H、G、M分别为抛物线C₁，C₂，C₃的顶点．HN垂直于x轴，垂足为N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|HG|
（1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9个点中，四个点可以连接成一个四边形，请你用字母写出下列特殊四边形：菱形

；等腰梯形

；平行四边形

；（每种特殊四边形只能写一个，写错、多写记0分）
（2）证明其中任意一个特殊四边形；
（3）写出你证明的特殊四边形的性质．

如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）若直线y=x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；
（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN上方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线的顶点坐标为M（1，4），与x轴的一个交点是A（-1，0），与y轴交于点B，直线x=1交x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）求经过B、M两点的直线的解析式，并求出此直线与x轴的交点C的坐标；
（3）若点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请你探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使

以P为圆心的圆经过点A，并且与直线BM相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）

．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于D点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴两交点是A（-1，0），B（3，0），则如图可知y＜0时，x的取值范围是（　　）

C、x＞-1或x＜3

D、x＜-1或x＞3