Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=

2

，cosA=

3

2

，如果将△ABC绕着点C旋转至△A′B′C的位置，使点B′落在∠ACB的角平分线上，A′B′与AC相交于点H，那么线段CH的长等于

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：根据题意画出图形，进而利用旋转的性质以及锐角三角函数关系和等腰直角三角形求出三角形各边长，再利用三角形面积求出即可．

解答：解：过点B′作B′F⊥AC于点F，A′D⊥AC于点D，
∵∠ACB=90°，点B′落在∠ACB的角平分线上，
∴∠BCB′=∠B′CA=ACA′=45°，
∴△CB′F，△CDA′都是等腰直角三角形，
∵AC=

2

，cosA=

3

2

，
∴

AC

AB

=

2

AB

=

3

2

，
解得：AB=

2 6

3

，
∴BC=

6

3

，
∴B′C=

6

3

，
∴B′F=

2

2

×

6

3

=

3

3

，
A′D=

2

2

×CA′=1，
∴S_△A′CB′=S_△CHB′+S_△CHA′=

1

2

×

6

3

×

2

=

1

2

×

3

3

×CH+

1

2

×1×CH，
解得：CH=

3

-1，
故答案为：

3

-1．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数关系和三角形面积求法等知识，利用S_△A′CB′=S_△CHB′+S_△CHA′求出是解题关键．