Question

9．如图，点A在x轴上，OA=6，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形的面积是9？若存在，求出过点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，可得OB=OA=6，∠BOC=120°，根据直角三角形的性质，可得BC，OC的长；
（2）根据抛物线与x轴的交点坐标，可得抛物线的解析式，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据三角形的面积，可得P到BC的距离为3，根据平行线间的距离相等，可得平行OB且到OB的距离等于3的两条直线，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．

解答 解：（1）如图1：

由OA=6，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置，得
OB=OA=6，∠BOC=120°．
∠BOC=120°-90°=30°
∴BC=$\frac{1}{2}$OB=3，
OC=3$\sqrt{3}$，
∴B（-3，-3$\sqrt{3}$）
（2）因为抛物线与x轴交于O、A（6，0），
设抛物线的解析式为y=ax（x-6），把点B（-3，-3$\sqrt{3}$）代入得-3a（-3-6）=-3$\sqrt{3}$，
解得：a=-$\frac{{\sqrt{3}}}{9}$．
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{9}$x（x-6）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{9}$x²+$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x．
（3）答：符合条件的点P存在
设直线OB的解析式为：y=kx，
把点了B（-3，-3$\sqrt{3}$）代入解得：k=$\sqrt{3}$
∴直线OB的解析式为：y=$\sqrt{3}$x，
∵S_△BOP=9，
∴点P到OB的距离是：（9×2）÷6=3
如图2：

设点E到OB的距离EF=3，
∵∠BOE=30°，
∴OE=2EF=6
∴到直线OB的距离为3的直线解析式分别是：y=$\sqrt{3}$x-6 或y=$\sqrt{3}$x+6
抛物线的对称轴是直线x=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴把x=3分别代入y=$\sqrt{3}$x-6、y=$\sqrt{3}$x+6得y ₁=3$\sqrt{3}$-6，y ₂=3$\sqrt{3}$+6，
即符合条件的点P的坐标是：P₁（3，3$\sqrt{3}$-6），P₂（3，3$\sqrt{3}$+6）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用了旋转的性质，直角三角形的性质；（2）利用待定系数法求函数解析式，关键是设出与X轴交点的解析式；（3）利用平行线间的距离相等得出平行OB且到OB的距离等于3的两条直线是解题关键．