Question

在同一平面直角坐标系中，⊙P上的点（x，y）如表1，直线l上的点（x，y）如表2，
表1

x	…	-3	-2	-1	0	1	…
y	…	-1	2	5	2	-1	…

表2

x	…	-4	-3	-2	-1	0	1
y	…	-2	-1	0	1	2	3

解答下列问题：
（1）直线l和⊙P的交点A和B的坐标分别为

 

；
（2）⊙P的半径的长为

 

；
（3）若在坐标轴上存在点M，使得△ABM为直角三角形，∠AMB=90°，求点M的坐标．

Answer 1

分析：解答本题可以根据表中所给的坐标求出圆的方程．
（1）中，由表直接可得出交点的坐标．
（2）中根据圆的参数方程由坐标求出圆的方程可得圆的半径．
（3）中在坐标轴上存在点M，使∠AMB=90，所以可设M点坐标为（X，0）和（0，Y），再根据勾股定理可求出M的坐标，但求出的点中要排除直线与圆的交点（0，2）．

解答：解：（1）由表1和表2的坐标（x，y）可看出圆P和直线都经过点（-3，-1）和（0，2），
∴直线和圆的交点A和B的坐标分别为（0，2）和（-3，-1）．

（2）根据圆的方程（x-a）²+（y-b）²=R²，
以及圆P经过的坐标（0，2），（-2，2），（-3，-1），
可求的圆的方程为（x+1）²+y²=5，
∴圆的半径长为

5

．

（3）∵在坐标轴上存在点M，使△ABM为直角三角形，
∴设M的坐标为（X，0）或（0，Y）；
①当M点坐标为（X，0）时，
线段AB=

(-3)2+(-1-2)2

=3

2

，
线段BM=

(-3-x)2+(-1)2

，
线段AM=

x2+4

；
由勾股定理可得
X=

-3± 17

2

，
∴M点坐标为（

-3+ 17

2

，0），（

-3- 17

2

，0）
②当M点坐标为（0，Y）时，
线段BM=

9+(-1-y)2

，
线段AM=

(2-y)2

；
由勾股定理可得AM²+BM²=AB²，
Y=2或-1，
但由于直线与圆交于（0，2），所以应排除坐标（0，2），
所以M点坐标为（0，-1），
所以M点的坐标为（

-3+ 17

2

，0），（

-3- 17

2

，0），（0，-1）．

点评：本题主要考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系，关键是要正确写出圆的方程．在最后一问中要抓住M在坐标轴上这个条件，排除不符合题意的点．