Question

1．有两个一元二次方程，M：ax²+bx+c=0；N：cx²+bx+a=0（其中a•c≠0，a≠c ）则下列结论中，其中正确的是①②．（填序号）
①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
②如果5是方程M的一个根，那么$\frac{1}{5}$是方程N的一个根；
③如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1．

Answer 1

分析 根据判别式的意义可对①进行判断；根据一元二次方程的解的意义可对②进行判断；解方程ax²+bx+c=cx²+bx+a，即可对③进行判断．

解答 解：①如果方程M有两个不相等的实数根，那么△=b²-4ac＞0，所以方程N也有两个不相等的实数根，故①正确，符合题意；
②如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，方程两边同时除以25，得a+$\frac{1}{5}$b+$\frac{1}{25}$c=0，即$\frac{1}{25}$c+$\frac{1}{5}$b+a=0，所以$\frac{1}{5}$是方程N的一个根，故②正确，符合题意；
③如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax²+bx+c=cx²+bx+a，解得x=±1，故③错误，不符合题意；
故答案为①②．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．同时考查了一元二次方程的解．